航空轮胎在起飞降落时如何变形？高铁悬架空气弹簧刚度如何准确预测？这些工程问题的计算，离不开对橡胶材料复杂变形行为的准确描述。然而，不同橡胶材料的力学响应差异显著，传统经验参数本构模型受限于预设的函数形式，在描述复杂多样的非线性响应时常常存在局限性；神经网络虽然具有较强的表达能力，但仍需兼顾物理合理性与材料稳定性。如何在满足物理约束的同时，准确表征多种橡胶材料复杂多样的力学响应，并进一步实现从材料力学表征到工程部件仿真的有效衔接，仍是橡胶智能本构建模面临的重要挑战。

  围绕这一问题，近日，张立群院士和北京化工大学李凡珠团队提出了一种具有双跳跃连接结构的物理信息神经网络超弹性本构模型——SC-PINN。相关研究成果以 “From Large-Scale Elastomer Data to Engineering Simulation: A Generalizable Skip-Connected Physics-Informed Neural Network for Hyperelastic Constitutive Modeling” 为题发表于国际知名期刊 Engineering。论文的第一作者是博士研究生李资源，通讯作者是李凡珠博士。

  该模型创新地将多凸性物理约束与双跳跃连接结构相结合，在保证材料稳定性的同时增强对复杂非线性力学响应的表征能力。研究基于25000条以上的单轴拉伸 (UT) 实测曲线开展大规模验证，并与六种代表性超弹性本构模型进行比较。结果表明，SC-PINN 模型的平均决定系数 R² 达到 0.9995，99.4% 的曲线满足 R² ≥ 0.99，且在三种变形模式（纯拉伸/纯剪切/纯压缩）下材料稳定性比例高达 100% 。作者还通过自定义的 UHYPER 材料子程序，将经实验数据标定的 SC-PINN 部署于工业软件Abaqus/Standard模块中，完成从材料实验数据到工程部件刚度计算的应用验证。

  与直接利用神经网络拟合应力—应变关系不同，研究团队从应变能密度函数出发，构建具有明确力学基础的神经网络本构模型。在材料客观性、各向同性和不可压缩性假设下，模型将描述变形状态的两个应变不变量 I? 和 I? 作为输入，通过包含两个隐藏层、每层8个神经元的网络输出应变能。随后利用自动微分计算应变能密度对变形梯度的导数，并结合相应加载模式的边界条件获得应力响应，以预测应力与实验应力之间的误差为优化目标，完成网络参数标定。

  为保证模型的物理合理性，研究将物理约束嵌入网络的架构 (图1)。通过采用应变不变量作为输入，使能量表示满足客观性和各向同性要求；由应变能导出应力，在所采用的超弹性框架下保持热力学一致性。网络内部采用平滑、凸且单调不减的Softplus激活函数，并通过非负参数化对相关网络权重施加约束，从而构建多凸应变能函数。由此，在整个参数优化过程中保持应变能函数的多凸性约束，为材料稳定性提供理论保证。

图1 SC-PINN的物理约束网络结构与参数训练流程。

  针对物理约束网络描述复杂非线性响应时的难题，进一步设计了两条受约束的跳跃连接路径，分别将输入直接传递至第二隐藏层和输出层。前者将原始应变不变量直接引入第二隐藏层，增强网络对输入信息的利用能力，后者在能量表达式中引入不变量的线性组合，经过常数项调整后，对应可训练的Mooney–Rivlin式一阶能量贡献。双跳跃连接路径同样受到非负权重约束，从而在增加表达灵活性的同时保留多凸能量结构。为进一步揭示双跳跃连接路径的作用，研究团队选取两条代表性曲线，对模型的拟合能力及不同路径的贡献进行了分析。对于第一条曲线，引入双跳跃连接路径后，决定系数 R2 由0.975提高至0.998，表明这一路径能够改善受物理约束网络对复杂响应的拟合能力（图2 a-c）。第二条曲线进一步展示了不同路径的互补作用：输出跳跃连接在小到中等应变范围内提供主要应力贡献，随着变形增大，神经网络主干路径的贡献明显增加，以描述大应变下的硬化行为。这种随变形变化的贡献关系，与输出跳跃连接路径提供Mooney–Rivlin式一阶能量项、神经网络主干路径表征复杂响应的结构解释相一致，揭示了不同网络路径在表征橡胶非线性力学响应过程中的互补作用，为模型拟合能力的提升提供了可解释的依据。 (图2 d-f)。

图2 双跳跃连接结构对拟合表现的影响及通道贡献分析。

  在参数训练方面，利用工程应变及变形模式的运动学关系计算对应的不变量，将模型预测的名义应力与实验名义应力进行比较，以两者的均方误差作为损失函数，通过Adam优化器更新网络参数。整个过程仅需应力—应变数据作为监督信息，无需直接测量应变能。在大规模拉伸曲线评估中，各条曲线采用相同网络架构分别标定材料参数；对于同一材料的多个变形模式联合标定，则使用一组参数共同描述单轴 (UT)、平面 (PT) 和等双轴 (ET) 拉伸响应，以检验模型在不同变形模式约束下的表达能力。

  研究团队以北京化工大学先进弹性体材料研究中心的实验测试数据为主，结合已有文献数据，构建了包含25,249条单轴拉伸应力—应变曲线的大规模弹性体力学数据集（图3(a)）。为识别不同材料力学响应的形态特征，研究对曲线进行归一化处理，并通过K-means聚类分析将其划分为三类（图3(b)、(c)）。三类曲线分别表现出逐渐趋于线性增长的非线性响应、具有明显大应变硬化特征的反S形响应，以及初始模量较高而后逐渐趋缓的响应，反映出不同弹性体材料力学行为的多样性（图3(d)–(f)）。

图3 弹性体力学数据集与聚类分析。

  后续研究人员将SC-PINN与Neo-Hookean、Mooney–Rivlin、Ogden和Zhang–Li等经验参数模型，以及无多凸约束的神经网络和无跳跃连接的物理信息神经网络进行系统比较（图4）。在对各条实验曲线采用相同SC-PINN网络架构、分别独立标定参数的评估中，SC-PINN模型的平均决定系数 R2 达到0.9995，99.4%的曲线达到 R2 ≥0.99，表明该模型对多种弹性体复杂非线性力学响应具有较强的拟合能力。同时，SC-PINN通过多凸网络结构保证应变能函数满足相应的物理约束，在UT、PT和ET三种变形模式下，材料稳定性达标比例均达到100%。

图4 SC-PINN与代表性模型在25,249条弹性体力学曲线上的拟合精度与稳定性对比。

  在完成大规模数据集评估后，研究团队进一步考察了SC-PINN在超出参数标定范围后的外推能力。针对三类代表性曲线，研究分别使用前80%的应变范围进行参数标定，将其余20%用于外推检验。SC-PINN在三个案例中均给出平滑、单调且符合实验变化趋势的外推响应，外推 R2 分别为0.9530、0.9519和0.9882。对比分析还表明，曲线吻合程度与材料稳定性需要分别评价：本研究中Ogden模型虽然拟合精度较高，但其Drucker稳定性指标在部分变形范围内降至负值，表明模型出现材料稳定性问题。相比之下，SC-PINN通过多凸网络结构施加材料稳定性约束，在保持良好外推表现的同时，保证预测响应满足相应的物理约束（图5）。

图5 代表性曲线的应变范围外推与材料稳定性分析。

  为检验模型描述多种变形模式下的拟合能力，研究选取Mars、Podnos和硅橡胶（SiR）三套代表性数据，将UT、PT和ET数据共同用于参数标定。对于每种材料，模型均使用同一组参数描述三种模式的响应。结果显示，SC-PINN在九个材料—模式组合中的拟合 R2 均超过0.99，表明该模型在同一组参数受到多种变形模式共同约束的情况下，仍能保持较高的拟合精度。

图6 SC-PINN与对比模型在多种变形模式下的联合拟合结果。

  在多模式联合标定的基础上，进一步开展仅基于UT数据的跨模式预测：仅使用UT数据标定模型，再预测未参与标定的PT和ET响应。结果表明，SC-PINN能够给出平滑、单调且符合实验变化趋势的预测响应，但不同材料与变形模式下的预测精度仍存在差异。相比之下，Ogden模型和无物理约束的神经网络在部分跨模式预测中出现异常应力增长或振荡，而SC-PINN与Zhang–Li模型均保持了良好的物理合理性。这表明，多凸性约束有助于保证跨模式预测的材料稳定性，但仅凭UT数据仍难以充分辨识材料在其他变形模式下的真实力学响应，进一步体现了多模式实验数据对本构模型参数标定与预测验证的重要价值（图7）。

图7 仅采用UT数据标定后的跨模式预测结果。

  在有限元实现方面，研究团队开发了UHYPER用户材料子程序，将训练后的网络结构、权重和偏置接入Abaqus/Standard，并计算求解器所需的应变能函数及其导数。首先，采用经多变形模式联合标定的Podnos材料模型，开展UT、PT和ET标准试样仿真。模拟得到的应力—应变曲线与对应实验数据吻合良好，验证了SC-PINN在应用于有限元仿真后的本构响应一致性，为后续复杂工程橡胶部件的仿真分析奠定了基础（图8）。

图8 SC-PINN的标准试样有限元实现验证。

  随后，研究将模型应用于非充气轮胎缩比件。研究人员使用轮胎所用聚氨酯材料的UT数据进行标定，材料曲线拟合 R2 为0.9908，并进一步模拟轮胎受压过程中的结构变形与载荷响应。刚度仿真结果的误差仅4.7%，展示了该模型用于橡胶类构件在复杂几何和局部大变形问题分析中的应用潜力。

图9 SC-PINN在非充气轮胎缩比件中的应用验证。

图10 SC-PINN在重型卡车悬架橡胶支座中的应用验证。

  研究进一步将模型用于重型卡车悬架橡胶支座。该部件由橡胶、内部钢板及连接件等组成，装配结构和变形约束更为复杂。研究人员使用其天然橡胶配方的UT数据标定SC-PINN，材料曲线拟合 R2 为0.9997并成功实现了橡胶支座垂向刚度的有限元分析，仿真结果与实验具有良好的一致性，误差仅2.4%。

  该研究构建了融合大规模实验数据、物理信息神经网络与有限元仿真的橡胶材料智能本构建模框架。通过双跳跃连接路径增强模型对复杂非线性力学响应的表征能力，并借助用户材料子程序实现从材料力学表征到工程部件仿真分析的有效衔接。研究成果不仅为橡胶材料的多模式力学表征与复杂工程结构分析提供了新的技术路径，也为进一步融合材料数据、物理知识与智能建模方法，构建面向橡胶材料研发及工程应用的领域垂直大模型奠定了基础。

  该论文为开放获取（Open Access, OA）文献，推荐引用格式如下：Z. Li, Q. Zhang, P. Li et al., From Large-Scale Elastomer Data to Engineering Simulation: A Generalizable Skip-Connected Physics-Informed Neural Network for Hyperelastic Constitutive Modeling, Engineering.

  https://doi.org/10.1016/j.eng.2026.08.024

【作者及团队】

  李凡珠，北京化工大学副教授。2026年入选国家级青年人才项目。主要研究方向为弹性体材料力学响应与寿命预测方法、增寿策略及智能工业软件开发等。在Engineering、Nano Mater. Sci.、Compos. Sci. Technol.、Int. J. Fatigue等期刊发表论文60余篇；主持国家自然科学基金青年B、面上、青年C项目，国家重点研发计划子课题、行业龙头企业委托技术开发项目等20余项；获省部级科技奖励一等奖、团队奖各 1 项。

  李资源，北京化工大学在读博士研究生。以第一作者在Engineering期刊发表论文 1 篇，申请中国发明专利 1 项，登记计算机软件著作权 1 项。