在当今的互联网时代，网络科学在社交网络、传染病模型、经济增长理论以及搜索算法里起到了至关重要的作用。而这样一种科学理论在水凝胶这类新材料领域也找到了用武之地。水凝胶属于一种聚合物材料，其本身是由复杂的三维高分子交联网络和水组成。由于水凝胶具有大变形、生物相容性和高含水量等优点，目前在人机结合的材料领域有重要的应用价值。在这些应用中，水凝胶本身的可靠性和失效特性就尤为值得关注。但是由于微观结构的不同，水凝胶材料与晶体材料、甚至是塑料的断裂特性有非常大的不同。因此传统的强度理论和断裂理论对于水凝胶材料的适用性并不令人满意。而西安交通大学刘子顺课题组创新性地引入了新的数学框架，尝试在新的赛道上做出突破。
最近，西安交通大学的刘子顺课题组在《Journal of Applied Physics》发表了一篇名为The elongation-criterion for fracture toughness of hydrogels based on percolation model的论文(Editor’s Pick)（DOI：10.1063/5.0009626）。该篇论文探究了水凝胶材料的断裂特性，并提出了一套新的断裂准则。在高含水量下（高于80%），该理论框架可以给出针对聚丙烯酰胺（PAAm）水凝胶的临界断裂伸长λc的预测。
该篇论文的核心思想是使用复杂网络科学这一新的数学理论工具来解释水凝胶的断裂特性。那么什么是复杂网络科学？复杂网络科学诞生的标志是柯尼斯堡七桥问题。该问题指的是如何能够不重复的走完柯尼斯堡小镇上的七座桥？如图1所示，数学家欧拉创立了节点与边这两个重要概念解决了该问题。图论就是在此基础上发展和演化的。
图 1 柯尼斯堡七桥问题的数学简化
到了20世纪末，图论中节点与边的数量不仅变得更多，而点与边的连接规则也变得更加复杂。这时的图更像是一种复杂网络结构。外加20世纪末计算机和互联网的发展，人们开始认识到图论这个数学分支在真实世界中的应用价值。原来一切研究“关系”的问题都可以简化点与边的结合。在2000前后，Albert-László Barabási极大地推进了复杂网络科学的数学基础。其中一篇名为Error and attack tolerance of complex networks的论文就探讨了复杂网络的失效问题。随后该问题继续被H. Eugene Stanley等人发扬光大。本篇论文的核心思想就是受这些优秀研究成果的启发，利用复杂网络科学建立了复杂网络和水凝胶断裂的关系。
图 2 网络的失效过程：网络连通性的失效并非需要网络中所有的边都被剪断，而是当剪断的边达到一定比例pc时，整个网络便已经丧失了连通性和功能性
首先，用一个简单的例子说明。如图2示例所示的电路网络的通断问题。开始时整个电路是通路，小灯泡发亮。当随机地剪断网格中的任意一个边时，网格的导通性不会立刻受到影响，小灯泡依然可以发亮。但是不断地剪断网络中的任意边时，总有一刻剪断的边的占比达到pc时，小灯泡熄灭。这就是网络连通性的数学问题。类比到水凝胶上，水凝胶也是由复杂的高分子网路所形成，因此水凝胶的断裂问题也可以抽象成网络连通性问题。为此，该篇论文的作者利用MATLAB开发了一套水凝胶网络生成算法，详细的算法发表在名为Energy transfer speed of polymer network and its scaling-law of elastic modulus—New insights（DOI: 10.1016/j.eml.2019.100617）的论文中。生成的水凝胶网络如下图所示。
图 3 利用网络生产算法模拟出的水凝胶网络结构
随后，该篇论文的作者定义了一条分子链的最大伸长与断裂准则，并建立了整个网络的生长与断裂的分子链的数量占比P的关系（λ~p）。只要确定水凝胶网络判定为失效时，有多少数量比例（pc）的链发生破坏，那么就可以根据λ~p曲线确定水凝胶的临界断裂伸长λc的值。通过大量的模拟和实验，得到了理论预测结果与实验结果的分布曲线。通过比较二者的概率分布情况来判断最终的预测准确度。最终，对于数量比为2160:1的单体和交联剂，且含水量为85%的PAAm水凝胶，预测误小于5%。
图 4 理论与实验结果的概率分布
研究工作成功地引入了新的数学工具，建立了新的理论框架，帮助完善了从介观尺度上解释水凝胶的断裂力学行为。作者希望有更多研究人员能够关注并发展这一套新的断裂方法。
以上成果作为Editor’s Pick文章发表在Journal of Applied Physics上. 论文的第一作者为西安交通大学国际力学应用中心的博士生李子谦(Ziqian Li)，通讯作者为西安交通大学国际应用力学中心刘子顺(Zishun Liu)教授。作者感谢国家自然科学基金委的资助（项目号：11820101001）
原文链接：
https://doi.org/10.1063/5.0009626
https://doi.org/10.1016/j.eml.2019.100617
